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薄緑色の正方形は1辺の長さが12cmです。この正方形の各辺の中点を結んで白い正方形を作りました。次にこの白い正方形の各辺の中点を結んで薄緑色の正方形を作りました。同じようにしてまん中にある白い正方形を作りました。白い部分全体の面積を求めて下さい。あることに気付くとあっという間に答えが出てしまいます。

question
あなたはあることに気付いたでしょうか。「あること」は人によって違いますね。
まず、一般的な方法で考えてみましょう。



もとになっている薄緑色の正方形の中にある〇印と◎印と△印をつけた三角形と正方形について考えてみましょう。〇印と△印の三角形が直角二等辺三角形であることに気付きましたか。直角二等辺三角形の3辺の比の関係を利用できそうです。
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〇印と△印の直角二等辺三角形と◎印の正方形を抜き出してみました。ピンクの三角形は直角二等辺三角形です。等しい辺の長さは1で斜辺の長さはルート2となっています。この直角二等辺三角形の3辺の比はすべての直角二等辺三角形で成り立ちます。このことを利用すると、〇印と△印の直角二等辺三角形の3辺の長さがわかります。また、正方形の1辺の長さもわかります。
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この問題を解いている人は、多分数学好きな人ですね。計算をしていくと、各辺の長さが次々と出てきます。どうぞ楽しみながら求めてみてください。



△印の三角形の面積は9㎠です。◎印の正方形の面積は18㎠です。白い部分全体の面積というのは、△印の三角形4つ分の面積と◎印の正方形の面積を合わせたものです。
このように考えていくと、白い部分全体の面積は 9×4+18 という式で求めることができます。
※(三角形の面積)=(底辺)×(高さ)÷2 
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−答えです

9×4+18=54 となりますから、答えは 54㎠ です。 




−別の方法

さて、この問題を別の方法で解いた人もいるのではないでしょうか。補助線を2本引くことによりもとになっている正方形の中に20個の直角三角形を作る方法です。図を見ると、外側にある薄緑色の三角形の面積は内側に作られる小さい三角形の面積4個分と等しくなっていることがわかります。このことを利用すると、もとになっている正方形の中に小さい三角形が32個あるということがわかります。
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小さい三角形1個分の実際の面積は、144÷32で求められます。(144はもとになっている正方形の面積です。)




白い部分全体の面積というのは小さい三角形12個分の面積のことです。
つまり、白い部分全体の面積は(12×12)÷32×12 という式で求めることができるとわかります。
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−答えです

(12×12)÷32×12=54 となりますから、答えは 54㎠ です。 


どちらの解き方をしたとしても、答えは54㎠ となります。あなたはどちらの方法で答えを出しましたか。簡単だと思う解き方は人によって違いますから、どちらが簡単とは言い切れません。
他にも解き方はあると思いますが代表的な解き方で説明しました。自分とは異なる解き方をたくさん知りたいですね。

(秒刊サンデー:わらびもち